Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，E为CC₁的中点．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）求二面角A-B₁E-B的大小．

Answer 1

分析：（1）证明C₁B⊥平面ABC，利用线面垂直的判定，证明AB⊥BC_l，BC⊥BC_l即可；
（2）证明∠AEB是二面角A-B₁E-B的平面角，在Rt△ABE中，利用正切函数，即可求解．

解答：（1）证明：因为AB⊥侧面BB₁C₁C，BC_l?侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC_l，
在△BCC_l中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，可得△BCE为等边三角形，BE=EC₁，∠EBC₁=

π

6

，所以BC⊥BC_l．
而BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．（6分）
（2）解：在△B₁C₁E中，EC₁=1，C₁B₁=1，∠B₁C₁E=

2π

3

，
∴∠B₁EC₁=

π

6

∵∠BEC=

π

3

，∴BE⊥EB_l．
又∵AB⊥侧面BB_lC₁C，∴AB⊥B_lE，
又AB∩BE=B，∴B₁E⊥平面ABE，∴AE⊥B_lE，
∴∠AEB即是二面角A-B₁E-B的平面角．
在Rt△ABE中，tan∠AEB=

AB

BE

=1，故∠∠AEB=

π

4

．
所以二面角A-B₁E-B的大小为

π

4

．（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．