Question

如图，△ABC是内接于⊙O，直线切⊙O于点，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（I）求证：△ABE≌△ACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

分析：（I）在△ABE和△ACD中，由AB=AC，知∠ABE=∠ACD，由∠BAE=∠EDC，BD∥MN，知∠EDC=∠DCN，再由直线是圆的切线能够证明△ABE≌△ACD．
（Ⅱ）由∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，知∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，由∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，得到BC=BE=4，△ABE∽△DEC，由此能够推导出AE．

解答：解：（I）在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAE=∠EDC，BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD．
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，
∴BC=BE=4，△ABE∽△DEC，
设AE=x，则

DE

x

=

DC

AB

=

4

6

，
解得DE=

2

3

x，
∵AE•EC=BE•ED，∴EC=6-x，
4•

2

3

x=x（6-x），解得x=

10

3

．

点评：本题考查三角形全等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意与圆有关的线段的应用．