题目内容
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），
+
=
，在有穷数列
（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10） 且满足前k项和大于126，则k的最小值为（ ）
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
| f(n) |
| g(n) |
| A、6 | B、7 | C、8 | D、9 |
分析：由于f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），即F（x）=
，求导得：F′(x)=
＞ 0所以函数F（x）在定义域上为单调递增函数，利用f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），
+
=
，求出F（x）的解析式，利用数列求和公式及方程的思想即可．
| f(x) |
| g(x) |
| f′(x)g(x)-f(x)g′(x) |
| g′(x)2 |
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
解答：解：因为f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
即F（x）=
，得：F′（x）=
＞0，所以函数F（x）在R上为由单调递增函数，
又因为：f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），所以F（x）=
=ax（a＞1），
利用
+
=
?F（1）+F（-1）=a+
=
?a=2，
所以F（x）=2x，所以在有穷数列
（n=1，2，…10）中，
任意取正整数k（1≤k≤10） 且满足前k项和大于126，
则k的最小值为：2+22+23+…+2k＞126?
＞126?amin=7．
故选B．
即F（x）=
| f(x) |
| g(x) |
| f′(x)g(x)-f(x)g′(x) |
| g′(x)2 |
又因为：f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），所以F（x）=
| f(x) |
| g(x) |
利用
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 5 |
| 2 |
所以F（x）=2x，所以在有穷数列
| f(n) |
| g(n) |
任意取正整数k（1≤k≤10） 且满足前k项和大于126，
则k的最小值为：2+22+23+…+2k＞126?
| 2(1-2k) |
| 1-2 |
故选B．
点评：此题考查了构造新函数并利用条件及导函数判断出该函数的单调性，还考查了等比数列的求和公式即不等式的准确求解．
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