Question

若函数f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值为二项式(x-

1

x

)6展开式中的常数项，则实数t的值是

 

．

Answer 1

分析：在二项式(x-

1

x

)6展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出展开式的常数项为15，故函数f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值为15，故t对应点与5对应点间的距离为15，由此求得
实数t的值．

解答：解：二项式(x-

1

x

)6展开式中，通项公式为T_r=

C

r 6

x6-r(-1)rx-

r

2

=C₆^r（-1）^r x

12-3r

2

，
令 12-3r=0，可得 r=4，故展开式的常数项为C₆⁴=15．
故函数f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值为15．而由绝对值的意义可得函数f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值为数轴上的t对应点与5对应点间的距离，
即应有t对应点与5对应点间的距离为15，故 t=20，或t=-10．
故答案为：20或-10．

点评：本题主要考查绝对值的意义，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求得t对应点与5对应点间的距离为15，是解题的关键，属于中档题．