Question

已知P为抛物线y=x²上的动点，定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹与抛物线y=x²交于B、C两点，当AB⊥AC时，求a的值．

Answer 1

（1）设Q（x，y）、P（x₀，y₀）

∵  A、Q关于P点对称

，
∴

x0= x+a 2 y0= y 2

，
∴

y

2

=(

x+a

2

)2，即y=

1

2

(x+a)2
（2）由

y=x2 y= 1 2 (x+a)2

消去y得x²-2ax-a²=0
又因为两曲线相交于B、C两点，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

则x1+x2=2a，x1x2=-a2 ∵ AB⊥AC∴kAB•kAC=-1，即 y1 x1-a • y2 x21-a =-1 ∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0 ∵y1y2= x 21 • x 22 =(-a2)2=0∴a4-a2-2a2+a2=0 解得a=± 2 或a=0(舍去) ∴当AB⊥AC时，a的值为± 2 ．