Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）当a＞1时，求f（x）＞0的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即

x+1

x-1

＜0，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=loga

1-x

1+x

=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）当a＞1时，f（x）＞0，即 log_a

1+x

1-x

＞0，化简为

x

x-1

＜0，由此求得自变量x的取值范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞0，且a≠1），故有

1+x

1-x

＞0，即

x+1

x-1

＜0，-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）当a＞1时，f（x）＞0，即 log_a

1+x

1-x

＞0，∴

1+x

1-x

＞1，∴

1+x

1-x

-1＞0，即

2x

1-x

＞0，

x

x-1

＜0，
解得 0＜x＜1，故所求的自变量x的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的图象和性质应用，分式不等式的解法，属于中档题．