Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切，过点P（-4，0）作斜率为的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|· |PB|=|PC|²。
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设点M为双曲线上一动点，点N为圆x²+（y-2）²=上一动点，求|MN|的取值范围。

Answer 1

解：（1）设双曲线的渐近线方程为y=kx，
因为渐近线与圆（x-5）²+y²=5相切，
则，即
所以双曲线的渐近线方程为
设双曲线方程为x²-4y²=m，
将代入双曲线方程，
整理，得3x²+56x+112+4m=0
所以，
因为|PA|·|PB|=|PC|²，
点P，A，B，C共线，且点P在线段AB上，
则（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，
即（x_B+4）（-4-x_A）=16
所以4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0
于是，解得m=4
故双曲线方程是x²-4y²=4，即。
（2）设点M（x，y），圆的圆心为D，
则x²-4y²=4，点D（0，2）
所以|MD|²=x²+（y-2）²=4y²+4+（y-2）²
 
所以
从而
故|MN|的取值范围是。