Question

已知圆x²＋y²－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0．

(1)求证：不论k取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；

(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：已知圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，其圆心(3，4)到直线kx－y－4k＋3＝0的距离为． 　　要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证＜2，即证(k＋1)2＜4(1＋k2)，即证3k2－2k＋3＞0．而3k2－2k＋3＝3(k－)2＋＞0成立． 　　(2)解：由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短， 　　而d＝，当且仅当k＝1时，“＝”成立，即k＝1时，dmax＝． 　　故当k＝1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为．