Question

已知函数f（x）=

10x-10-x

10x+10-x

，判断f（x）的奇偶性和单调性．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定义判断，先看定义域，再探讨（x）与f（-x）的关系．
（2）用单调性定义判断，思路是，在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．

解答：解：（1）已知函数f（x）=

10x-10-x

10x+10-x

=

102x-1

102x+1

，x∈R，
f（x）=

10-x-10x

10-x+10x

=-

102x-1

102x+1

=-f(x)，x∈R
∴f（x）是奇函数
（2）f(x)=

102x-1

102x+1

，x∈R，设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1) -f(x2) =

102x1-1

102x1+1

-

102x2-1

102x2+1

=

2(102x1-102x2)

(102x1+1)(102x2+1)

=

2(100x1-100x2)

(102x1+1)(102x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以100x1＜100x2，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为增函数．

点评：本题主要考查用定义来判断函数的奇偶性和单调性，在判断奇偶性时要先看定义域，再看f（x）与f（-x）关系，在判断单调性时要注意变量的任意性．