Question

设二次函数满足条件：①当时，，且；② 在上的最小值为。（1）求的值及的解析式；（2）若在上是单调函数，求的取值范围；（3）求最大值，使得存在，只要，就有。

Answer 1

(1) ∵在上恒成立，∴
即……………（1分）
∵，∴函数图象关于直线对称，
∴……………（2分）
∵，∴
又∵在上的最小值为，∴，即，……………（3分）
由解得，∴；……………（4分）
（2）∵，
∴对称轴方程为，……………（5分）
∵在上是单调函数，∴或，……………（7分）
∴的取值范围是或或。……………（8分）
（3）∵当时， 恒成立，∴且，
由得，解得……………（9分）
由得：，
解得，……………（10分）
∵，∴，……………（11分）
当时，对于任意，恒有，
∴的最大值为.……………（12分）
另解：且
在上恒成立
∵在上递减，∴，
∵在上递减，∴
∴，∴，，∵，∴，
∴，∴的最大值为

略