Question

设y＝f（x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

（i)f（－1)＝f（1)＝0；

（ii)对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|≤|u－v|．

（Ⅰ)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x)≤1－x；

（Ⅱ)判断函数g（x)＝是否满足题设条件；

（Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f（x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|＝|u－v|．

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：由题设条件可得，当x∈[－1，1]时，有 　　  ， 即． （Ⅱ）答：函数g（x）满足题设条件，验证如下：g（－1）＝0＝g（1）．  对任意的， 　　  当时，有|g（u）－g（v）|＝|（1－u）－（1－v）|＝|u－v|； 　　  当时，同理有|g（u）－g（v）|＝|u－v|； 　  　当u·v<0时，不妨设u∈[－1，0]，v∈（0，1]， 有|g（u）－g（v）|＝|（1＋u）－（1－v）|＝|u＋v|≤|v－u|． 　　  所以，函数g（x）满足题设条件． （Ⅲ）答：这样的函数不存在．理由如下： 　　  假设存在f（x）满足条件，则由f（－1）＝f（1）＝0 ， 得| f（1）－f（－1）|=0          ① 　　  由于对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|＝|u－v|， 　　  所以，|f（1）－f（－1）|＝|1－（－1）|＝2．  ②  ①与②矛盾，因此假设不成立， 即这样的函数不存在．