Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由时，得出，则，再求导，可得函数在上是增函数，从而得到函数的单调性，即可求解函数在上的最小值； （2）由（1）知函数在上是增函数，且，使得，得，即，设，利用函数的单调性，即可求解求的取值范围；（3）根据题意，转化为对任意成立，令，所以，可得出的单调性，求解出的最小值，即可的取值范围．

试题解析：（1）时，，，

，所以函数在上是增函数，

又函数的值域为R，

故，使得，

又，，所以当时，，

即函数在区间上递增，所以

（2），

由（1）知函数在上是增函数，且，使得

进而函数在区间上递减，在上递增，

，

由得：，

，，

因为，不等式恒成立，

（另解：因为，不等式恒成立，

即

由，

当时取等号，）

（3）由，，

，对任意成立，

令函数，所以，

当时，，当时，，

所以当时，函数取得最小值，