题目内容

已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：①f(1)＝3；②f(x)≥2恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2．

(1)试求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)试比较；

(3)某人发现：当(nN)时，有f(x)＜2x＋2．由此他提出猜想：对一切x(0，1]，都有f(x)＜2x＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)设0≤x1＜x2≤1，则必存在实数tÎ (0，1)，使得x2＝x1＋t，

　　由条件③得，f(x2)＝f(x1＋t)³ f(x1)＋f(t)－2，

　　∴f(x2)－f(x1)³ f(t)－2，

　　由条件②得，f(x2)－f(x1)³ 0，

　　故当0≤x≤1时，有f(0)≤f(x)≤f(1)．

　　又在条件③中，令x1＝0，x2＝1，得f(1)³ f(1)＋f(0)－2，即f(0)≤2，∴f(0)＝2，

　　故函数f(x)的最大值为3，最小值为2．

　　(2)解：在条件③中，令x1＝x2＝，得f()³ 2f()－2，即f()－2≤[f()－2]，

　　故当nÎ N*时，有f()－2≤[f()－2]≤[f()－2]≤…≤[f()－2]＝，

　　即f()≤＋2．

　　又f()＝f(1)＝3≤2＋，

　　所以对一切nÎ N，都有f()≤＋2．

　　


练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2判断下列三个代数式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．
问题1：已知函数f(x)=
x
1+x
，则f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示为f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．
已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P是M，N的中点．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）当f（x）的定义域为[a+
1
2
，a+1]时，求f（x）的值域；
（2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．
（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
（1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值；
（2）设Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
（3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

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