Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．
（1）求证：AM⊥PD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可通过证明PD⊥平面ABM由线面垂直的性质定理证明AM⊥PD；
（2）法一：求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值，可通过作出其平面角，解三角形求之．
法二：用向量法给出空间坐标系，及各点的坐标，求出直线的方向向量的坐标以及平面的法向量的坐标，再由公式sinα=|

CD • n

| CD || n |

|求出线面角的正弦值，进而求出余弦值．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB?平面ABM，BM?平面ABM，∴PD⊥平面ABM．
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，在Rt△PAD中，
得AM=

2

，在Rt△CDM中，得MC=

MD2+DC2

=

3

，
∴S△ACM=

1

2

AM•MC=

6

2

．
设点D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，
得

1

3

S△ACM•h=

1

3

S△ACD•

1

2

PA．解得h=

6

3

，
设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sinθ=

h

CD

=

6

3

，
∴cosθ=

3

3

．
∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为

3

3

．
解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．
∴

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，

CD

=(-1，0，0)．
设平面ACM的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

可得：

x+2y=0 y+z=0.

令z=1，得x=2，y=-1．∴

n

=(2，-1，1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

．
∴cosα=

3

3

．∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间的线面关系、线面角、空间向量及坐标运算、解三角形等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，本题易因向量法求线面角的公式记忆不准导致错误．