Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函数在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，
即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）由（2）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，
即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，
所以ln(1×2)＞1-

2

1×2

，
ln(2×3)＞1-

2

2×3

，ln(3×4)＞1-

2

3×4

，
ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

．
叠加得：ln[1×2²×3²×n2×(n+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

n(n+1)

]
=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2
则1×2²×3²×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）