Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出{a_n}的公差，{b_n}的公比，利用a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，建立方程组，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得，a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，结合数列的特点利用错位相减法，可求前n项和S_n．

解答：解：（I）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
∴

1+2d+q4=21 1+4d+q3=13

，解得d=2，q=2．　　
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，bn=2n-1，
（Ⅱ）由（I）得，a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
S_n=1•2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1
2S_n=1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ
两式相减可得，-S_n=1+2（2+2²+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=（3-2n）•2ⁿ-3，
则S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等 数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点．