Question

（本小题满分12分）
直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB₁=2.
①求证：BO₁⊥AB₁；
②求证：BO₁∥平面OA₁D；
③求三棱锥B—A₁OD的体积。

Answer 1

①略
②略
③V=

证法1：①连结OB，    ∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO
即AO⊥OO，又AO⊥OB 
∴AO⊥平面OOBB
∴O B为A B在平面OOBB内的射影
又OB="B" B  ∴四边形OOBB为正方形
∴B O⊥OB
∴B O⊥A B（三垂线定理）分
②连结A O交OA于E，再连结DE.
∵四边形AAOO为矩形 ,∴E为A O的中点.
又D为AB的中点，∴BO∥D……………6分
又DE平面OAD，BO平面OAD
∴BO∥平面OAD
③∵V= V，
又∵AA₁⊥平面ABO，∴V=·S·AA。
又S=·S=1，A₁A=2，
∴V=。
证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:
O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),
B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).
①∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)
∴·="(-2)" ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0
∴⊥    ∴B O⊥A B
②取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，∴="(0,-1,-1),       " 又=(0,-2,-2)
∴=2  又BO、DE不共线，    ∴BO∥DE
又DE平面OAD，BO平面OAD    ∴BO∥平面OAD③与证法1相同