Question

对大于或等于2的自然数m的3次方幂有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，则
（1）8³的分解中最小的数是________；
（2）按以上规律分解，第n个式子可以表示表示为（n+1）³=________．

Answer 1

解：（1）由分析可设8³=（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+…共8项，
8³=16n+8²
求得n=28，2n+1=57．
即在8³的分解中，最小数是57．
（2）注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．
按以上规律分解，第n个式子的第一个和式是n（n+1）+1，一共有n+1项．
∴第n个式子可以表示为：
（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）
故答案为：57，（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
分析：（1）注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和．可设8³可连续分成2n+1，2n+3，2n+5，…之和，再相加求解n．
（2）按以上规律分解，第n个式子可以表示为（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．