题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于
1
2
|AF|，则椭圆的离心率e=（　　）
分析：由题意可得直线AB的方程为
x
a
+
y
b
=1，由F（c，0）到直线AB的距离d=
|bc-ab|
a2+b2
=
b(a-c)
a2+b2
，|AF|=a-c，结合已知可得a，b之间关系，结合a2-c2=b2及e=
c
a
可求
解答：解：由题意可得直线AB的方程为
x
a
+
y
b
=1即bx+ay-ab=0，F（c，0）
∴F（c，0）到直线AB的距离d=
|bc-ab|
a2+b2
=
b(a-c)
a2+b2
，|AF|=a-c
则
a-c
2
=
b(a-c)
a2+b2

∴a2=3b2
∴a2=3a2-3c2
即3c2=2a2
∴e=
c
a
=
6
3

故选B
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线方程的截距式及点到直线的距离公式的应用，属于中档试题
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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