Question

【题目】如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．

（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；

（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小

【解析】

（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；

（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.

（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，

又∠APO＝，∠OAP＝，

由正弦定理，得：，又OA＝2，

所以，PA＝，OP＝，

所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，

∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，

所以，；

（2）令，

，得：，

在上递减，在上递增

所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，

即是最小值：＝2，

答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．