Question

设异面直线、成角，它们的公垂线段为且，线段AB的长为4，两端点A、B分别在、上移动，则AB中点P的轨迹是             。

Answer 1

解析:

AB的中点P过EF的中点O且与、平行的平面内，于是空间的问题转化为平面问题。取EF的中点O，过O作

则   、确定平面,

且A在内的射影必在上，B在内的射影必在上，AB的中点P必在H ,如图1所示。

又  

易得    ,

现求线段在移动时，其中点P的轨迹。以的平分线为轴，O为原点，建立直角坐标系，如图2所示。不妨设。在中，    ①。设的中点P的坐标为，则，即，代入①消去、，得，于是得到的是椭圆②夹在内的弧，在另外的情形中，同样得到椭圆②的其余弧，故点P的轨迹是EF的中垂面上以O为中心的椭圆。