Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN⊥AB；

(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：平面MND⊥面PDC.

Answer 1

证明:(1)如图，取AC的中点H，连结HN、HM.因为M、N分别是AB、PC的中点，所以MH∥BC，且HN∥PA.

又因为PA⊥面ABCD，所以NH⊥面ABCD.

因为AB⊥BC，即有AB⊥MH，

所以AB⊥MN.

(2)由(1)可得MN⊥CD.

∵PA⊥面ABCD，AD⊥DC，∴∠PDA是二面角PCDA的平面角.由题意∠PDA=45°，即PA=AD.于是Rt△PAM≌Rt△CBM.

∴PM=CM.∴MN⊥PC.

又∵PC∩CD=C，

∴MN⊥面PCD.故平面MND⊥平面PCD.