Question

设函数f（x）=lnx+ax²+1，a∈R．
（1）当a=-

1

2

时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象总在直线y=

1

2

的下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f'（x），在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象总在直线y=

1

2

的下方，可知f(x)max＜

1

2

，然后讨论a的正负求出函数的最大值，建立不等式，解之即可；
解法二：函数y=f（x）的图象总在直线y=

1

2

的下方，可知f(x)＜

1

2

恒成立，即  lnx+ax2+

1

2

＜0对于x∈（0，+∞）恒成立，然后利用参变量分离的方法进行求解．

解答：解：（1）当a=-

1

2

时，f(x)=lnx-

1

2

x2+1，f/(x)=-x+

1

x

，…（1分）
f/(x)=

1-x2

x

，令f′（x）=0，解得x=1或x=-1…（3分）

∵x＞0，x∈(0，1)，f/(x)＞0，

f（x）在（0，1）上单调递增

x∈(1，+∞)，f/(x)＜0，

f（x）在（1，+∞）上单调递增…（5分）
（2）法一：函数y=f（x）的图象总在直线y=

1

2

的下方，可知f(x)max＜

1

2

…（6分）
f/(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，x＞0…（7分）
①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无最大值故不成立…（8分）
②当a＜0时，f/(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0
令f′（x）=0，则x=

- 1 2a

．
当x∈(0，

- 1 2a

]时，f′（x）＞0；
当x∈(

- 1 2a

，+∞)时，f′（x）＜0.f(x)在(0，

- 1 2a

]单调递增，(

- 1 2a

，+∞)单调递减
故x=

- 1 2a

为函数f（x）的唯一极大值点，…（10分）
所以函数f（x）的最大值为f（

- 1 2a

）=

1

2

+

1

2

ln（-

1

2a

）
由题意有

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜

1

2

，解得a＜-

1

2

．…（12分）
（2）法二
函数y=f（x）的图象总在直线y=

1

2

的下方，可知f(x)＜

1

2

恒成立 …（6分）
即  lnx+ax2+

1

2

＜0对于x∈（0，+∞）恒成立              …（7分）
于是有 a＜

-lnx- 1 2

x2

令g(x)=

-lnx- 1 2

x2

，x∈（0，+∞）…（8分）
则只需求g（x）的最小值即可．∵g′(x)=

2lnx

x3

∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴g（x）在x=1处取到极小值，也就是最小值为-

1

2

…（10分）
所以a的取值范围为(-∞，-

1

2

)．…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键，属于中档题．