Question

设集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(0，

  3

  4

  )
• B．[

  3

  4

  ，

  4

  3

  )
• C．[

  3

  4

  ，+∞)
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解．

解答：解：由x²+2x-3＞0，得：x＜-3或x＞1．
由x²-2ax-1≤0，得：a-

a2+1

≤x≤a+

a2+1

．
所以，A={x|x²+2x-3＞0}={x|x＜-3或x＞1}，B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}={x|a-

a2+1

≤x≤a+

a2+1

}．
因为a＞0，所以a+1＞

a2+1

，则a-

a2+1

＞-1且小于0．
由A∩B中恰含有一个整数，所以2≤a+

a2+1

＜3．
即

a+ a2+1 ≥2 a+ a2+1 ＜3

，也就是

a2+1 ≥2-a① a2+1 ＜3-a②

．
解①得：a≥

3

4

，解②得：a＜

4

3

．
所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是[

3

4

，

4

3

)．
故选B．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．