Question

已知函数f(x)=

x-a

x2+bx+1

是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）写出f（x）的单调区间（不需要证明）；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质进行赋值求a、b的值，可由f（0）=0求出a，再有f（1）+f（-1）=0求b，
（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

 通过观察函数解析式可直接写出函数的单调区间．
（3）由函数的解析式的形式知，由于函数在自变量不为0时可以化为f(x)=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，本题求值域适合用基本不等式分类求值域．

解答：解：（1）因为f(x)=

x-a

x2+bx+1

是奇函数，则有f(0)=

-a

1

=0，故a=0，
再由f（1）+f（-1）=0得

1

2+b

+

-1

2-b

=0，
即

1

2+b

=

1

2-b

，即2+b=2-b，可得b=0，
故有a=b=0

（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

 可知：f′(x)=

1-x 2

(x2+1) 2

令导数小于0，解得x的取值范围是（-∞，-1）、（1，+∞）
令导数大于0，解得x的取值范围是（-1，1）
故函数在（-∞，-1]、[1，+∞）上分别递减；（-1，1）上递增；

（3）由（1）知f(x)=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
当x＞0时，x+

1

x

≥2，则f（x）∈（0，

1

2

]
当x＜0时，x+

1

x

≤-2，则f（x）∈[

1

2

，0）
当x=0时，f（x）=0显然成立
综上知，函数的值域是：[-

1

2

，  

1

2

]．

点评：本题考点是函数的单调性及单调区间，综合考查了函数的定义域、值域、以及单调性，本题考查全面综合性强，解法典型，题后应好好总结：本题在转化时的规律及其转化的依据．