Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出三角形的重心，A，B的坐标，利用三角形重心的性质表示出x和y，利用OA⊥OB推断出k_OA•k_OB=-1求得x₁x₂+y₁y₂=-1把A，B代入抛物线求得x₁x₂的值，进而求得y和x的关系式即G的轨迹方程．
（II）利用两点间的距离公式分别表示出|OA|和|OB|代入三角形面积公式，利用基本不等式和x₁x₂的值求得三角形面积的最小值．

解答：解：（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x= x1+x2 3 y= y1+y2 3

（1）
∵OA⊥OB∴k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，（2）
又点A，B在抛物线上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，代入（2）化简得x₁x₂=-1
∴Y=

y1+y2

3

=

1

3

（x₁²+x₂²）=

1

3

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=

1

3

×（3x）²+

2

3

=3x²+

2

3

．
所以重心为G的轨迹方程为y═3x²+

2

3

．
（II）S_△AOB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

( x 2 1 + y 2 1 )( x 2 2 + y 2 2 )

=

1

2

x 2 1 x 2 2 + x 2 1 y 2 2 + x 2 2 y 2 1 + y 2 1 y 2 2

由（I）得S_△AOB=

1

2

x 2 1 + x 2 2 +2

≥

1

2

2| x   1 x   2 | +2

=

1

2

×2=1
当且仅当x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．