题目内容
函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）
A、在[-4
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B、在[-4
| ||||
C、[4
| ||||
D、在（-∞，-4
|
分析：由已知中函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）必为奇函数，由此我们可以得到函数解析式中所有偶次项系数均为0，进而求出函数的解析式，求出导函数后，分析导函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
解答：解：由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数．
∴a-1=0，b=0
∴a=1，b=0
∴f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=3(x+4
)(x-4
)
令f′（x）＞0，则x＞4
或x＜-4
令f′（x）＜0，则-4
＜x＜4
∴f（x）在(-∞，-4
) ，(4
，+∞)上为增函数，在(-4
，4
)上为减函数．
∴a-1=0，b=0
∴a=1，b=0
∴f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=3(x+4
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令f′（x）＞0，则x＞4
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令f′（x）＜0，则-4
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∴f（x）在(-∞，-4
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点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数奇偶性的性质，其中根据已知条件判断出函数为奇函数，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．
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