Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，

BC=AD=1，CD=．

（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；

（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，

∴ MN // PA                      ……………………2分

∵ MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ．             ……………………4分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．        ……………………6分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                     ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD．                             ……………………8分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．                     …………………9分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．     …………………6分

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．                   ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．              …………………8分

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．                  ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，，．………11分

设，

则，，∵，

∴ ，    ∴       ……………………12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．         ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°，  ，∴ ．……14分