Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析：先由公式对函数函数f（x）进行化简整理，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）f（x）取得最大值3，令2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，解出自变量的取值范围，写成集合的形式；
（2）令相位2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z），解出x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）即得函数的增区间；
（3）由f（x）≥2得sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，由正弦函数的性质解此三角不等式，求出不等式的解集．

解答：解：f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+1+cos2x=2sin2xcos

π

6

+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）f（x）取得最大值3，此时2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

6

+kπ，k∈Z
故x的取值集合为{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}
（2）由2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）得，x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
（3）f（x）≥2?2sin（2x+

π

6

）+1≥2?sin（2x+

π

6

）≥

1

2

?

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ?kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）
故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）

点评：本题考查二倍角的余弦及弦函数的性质，正确解答本题关键是将函数利用公式进行化简，以及熟练掌握函数的性质，本题是三角函数的综合题，涉及到的知识较多，综合性强，是三角函数在考试时所采用的重要题型，题后要总结此题的解题规律及所用的知识