Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²+f（x）
=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)
=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
当sin(2x-

π

6

)=-

1

2

时，g（x）取得最小值-

1

4

当sin(2x-

π

6

)=1时，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域为[-

1

4

， 2]．