题目内容

曲线y=x（x+1）（2-x）上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程．
分析：先求出曲线的导数，然后根据切线斜率为正数确定x的范围，从而确定x可能的值，进而求出P点的坐标和相应的切线方程．
解答：解：∵y=-x3+x2+2x，
∴y′=-3x2+2x+2，
又∵P点的切线斜率为正数，
∴y′＞0，
解得
1-
7
3
＜x＜
1+
7
3
，
又∵x∈Z，
∴x=0或1，
∴P点坐标为（0，0）或（1，2），
∴切线斜率k=2或1，
∴切线方程为y=2x或y=x+1．
点评：掌握简单复合函数的求导．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．
（理）曲线y=
x
与x=1，x=4，y=0所围成图形面积为
14
3
14
3
．
由曲线y=
x
，x=1，x=2，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是
3π
2
3π
2
．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

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