Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

⑴求证：；

⑵求直线与平面所成的角；

⑶设点在棱上，，若∥平面，求的值.

Answer 1

【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知 则

                        （4分）

（2）∵∥，又平面.

 ∴平面平面.

 过作//交于

 过点作交于,则

 ∠为直线与平面所成的角.

 

 在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

　 （3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即

（12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

 ∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　 　　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

 

设，

则

 即直线为.　　　（8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得，

由,得∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）