Question

【题目】若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．

（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）不是“函数”，理由详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）用反例判断函数不是“函数”；

（2）根据函数在定义域 是“函数”，探索得到的关系式，再求得的取值范围；

（3）在（2）的基础上，将不等式，应用分离变量求最值.

解：函数不是“函数”，理由如下：

若是“函数”．取，存在，使得

即，整理得，但是，矛盾，

所以不是“函数”．

（2）在上单调递增，取，则存在，

使得，．

如果，取，则存在，使得，．

因为在上单调递增，所以．

所以

又，所以，上式与之矛盾，

所以假设不成立，所以．即，即，

整理得．

因为，所以，．

又，所以的取值范围是．

．

因为，所以的取值范围是．

（3）函数的对称轴为，且，

当在定义域上为“函数”时，必有．

所以函数在上单调递增，由（2）知，必有，

即,解得．

由，，

对任意的恒成立，知．整理得

令，则在上单调递增，．

因为是存在，使得成立，所以．

综上所述，实数的最大值为．