Question

已知函数f(x)=x|x-2|.

(1)写出f(x)的单调区间;

(2)解不等式f(x)＜3;

(3)设a＞0,求f(x)在［0,a］上的最大值.

Answer 1

解：(1)f(x)=x|x-2|=

∴f(x)的单调递增区间是(-∞,1］和［2,+∞);

单调递减区间是［1,2］.

(2)∵x|x-2|＜3或 2≤x＜3或x＜2,

∴不等式f(x)＜3的解集为{x|x＜3}.

(3)①当0＜a≤1时,f(x)是［0,a］上的增函数,

此时f(x)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(2-a).

②当1＜a≤2时,f(x)在［0,1］上是增函数,在［1,a］上是减函数,

此时f(x)在［0,a］上的最大值是f(1)=1.

③当a＞2时,令f(a)-f(1)=a(a-2)-1=a²-2a-1＞0,解得a＞1+.

ⅰ当2＜a≤1+时,此时f(a)≤f(1),f(x)在［0,a］上的最大值是f(1)=1;

ⅱ当a＞1+时,此时f(a)＞f(1),f(x)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(a-2).

综上,当0＜a＜1时,f(x)在［0,a］上的最大值是a(2-a);

当1≤a≤1+时,f(x)在 ［0,a］上的最大值是1;

当a＞1+时,f(x)在［0,a］上的最大值是a(a-2).