Question

（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

   （Ⅰ）当时, 求的单调区间和极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             

   （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ;

   （Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ），   ……1分

若则_；若，则

∴  ……3分

   ∴的极小值为 ……4分

   （Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

   ∴ ，……5分

令，， 

当时，，在上单调递增  ……6分

∴ 

∴在（1）的条件下，……9分

   （Ⅲ）假设存在实数，

使（）有最小值3，

 …9分

①当时，在上单调递减，

，（舍去），

所以，此时无最小值． ……10分

②时，在上单调递减，

在上单调递增

，，满足条件． ……11分

①当时，在上单调递减，

，（舍去），

所以，此时无最小值．综上，存在实数，

使得当时有最小值3．…………………………14分