Question

设函数f（x）=

e2x2+1

x

，g(x)=

e2x

ex

，对任意x₁、x₂∈（0，+∞），不等式

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立，则正数k的取值范围是

k≥1

．

Answer 1

分析：当x＞0时，f(x)=

e2x2+1

x

=e2x+

1

x

，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立且k＞0，则

g(x)max

k

≤

f(x)max

k+1

，可求

解答：解：∵当x＞0时，f(x)=

e2x2+1

x

=e2x+

1

x

≥2

e2x• 1 x

=2e
∴x₁∈（0，+∞）时，函数f（x₁）有最小值2e
∵g(x)=

e2x

ex

∴g′(x)=

e2•(ex-xex)

e2x

=

e2(1-x)

ex

当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e
∵

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立且k＞0
∴

e

k

≤

2e

k+1

∴k≥1
故答案为k≥1

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度