Question

已知函数f（x）=cos²x-2asinx+a-1，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

6

]上的最大值m（a）．

Answer 1

分析：（1）当a=0时求出f（x），利用公式可得周期，由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得f（x）的增区间；
（2）设t=sinx，则t∈[-

3

2

，

1

2

]，则原函数可转化为关于t的二次函数h（t）=-t²-2at+a，分对称轴在区间[-

3

2

，

1

2

]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，结合图象可得m（a）；

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=cos2x-1=

1

2

(cos2x-1)．
易得周期T=π，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得，kπ+

π

2

≤x≤kπ+π，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ+

π

2

，kπ+π](k∈Z)．    
（2）将函数f（x）=cos²x-2asinx+a-1变形为f（x）=-sin²x-2asinx+a，x∈[-

π

3

，

π

6

]．
设t=sinx，则t∈[-

3

2

，

1

2

]，即求函数h（t）=-t²-2at+a在t∈[-

3

2

，

1

2

]上的最大值m（a）．
①当-a≤-

3

2

时，h（t）在[-

3

2

，

1

2

]上单调递减，∴m(a)=h(-

3

2

)=-

3

4

+(

3

+1)a．      
②当-a≥

1

2

时，h（t）在[-

3

2

，

1

2

]上单调增，∴m(a)=h(

1

2

)=-

1

4

；
③当-

3

2

＜-a＜

1

2

时，∴m（a）=a+a²．           
综上所述，m(a)=

- 3 4 +( 3 +1)a，a≥ 3 2 - 1 4 ，  a≤- 1 2 a+a2，- 1 2 ＜a＜ 3 2 .

．

点评：本题考查复合函数的单调性、二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力．