Question

如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C₁D₁﹣C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A₁O、AC、AB₁，则四边形ABCO为正方形，
所以OC=AB=A₁B₁，
所以，四边形A₁B₁CO为平行四边形，
所以A₁O∥B₁C，
又A₁O平面AB₁C，B₁C平面AB₁C
所以A₁O∥平面AB₁C

（Ⅱ）因为D₁A=D₁D，O为AD中点，所以D₁O⊥AD
又侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，
所以D₁O⊥底面ABCD，
以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，﹣1，0）
所以，设为平面C₁CDD₁的一个法向量，
由，得，
令z=1，则y=1，x=1，∴．
又设为平面AC₁D₁的一个法向量，
由，得，令z₁=1，则y₁=﹣1，x₁=﹣1，∴，则，
故所求锐二面角A﹣C₁D₁﹣C的余弦值为