Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0），
(1)若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
(2)讨论f（x）的单调性；
(3)证明：（n∈N*，e为自然对数的底数）。

Answer 1

解：（1），
∵x=0是f（x）的一个极值点，
则，
∴a=0，验证知a=0符合条件；
（2），
1）若a=0时，
∴f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若，得当a≤-1时，对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减；
3）若-1＜a＜0时，由，
∴，
再令，可得，
∴上单调递增，
在上单调递减；
综上所述，若a≤-1时，f（x）在上单调递减；
若-1＜a＜0时，上单调递增，
在上单调递减；
若a=0时，f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减。
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在上单调递减，
当x∈时，由，
∴，
∴
，
∴。