题目内容
已知实数x，y满足y=
，求z=2x+y的取值范围为
| 9-x2 |
[-6，3
]
| 5 |
[-6，3
]
．| 5 |
分析：三角换元：x=3cosα，则y=
=3sinα，α∈[0，π]．利用辅助角公式算出z=2x+y=3
sin（α+θ），结合α+θ的范围利用三角函数的图象，即可算出z=2x+y的取值范围．
| 9-x2 |
| 5 |
解答：解：设x=3cosα，则y=
=3sinα，α∈[0，π]
可得z=2x+y=6cosα+3sinα=3
sin（α+θ），
其中θ=arctan2，
∵α∈[0，π]，得α+θ∈[arctan2，π+arctan2]
∴当α+θ=
时，z有最大值3
；当α=π时，z有最小值-6
由此可得z=2x+y的取值范围为[-6，3
]
故答案为：[-6，3
]
| 9-x2 |
可得z=2x+y=6cosα+3sinα=3
| 5 |
其中θ=arctan2，
∵α∈[0，π]，得α+θ∈[arctan2，π+arctan2]
∴当α+θ=
| π |
| 2 |
| 5 |
由此可得z=2x+y的取值范围为[-6，3
| 5 |
故答案为：[-6，3
| 5 |
点评：本题给出曲线方程y=f（x），求z=2x+y的取值范围．着重考查了三角换元法求函数的值域的知识，属于中档题．
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