Question

在直角坐标系O-xyz中，

OA

=（0，1，0），

AB

=（1，0，0），

OC

=（2，0，0），

OS

=（0，0，1）．
（1）求

SC

与

OB

的夹角α的大小；
（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；
（3）求OA与平面SBC的夹角；
（4）求点O到平面SBC的距离；
（5）求异面直线SC与OB间的距离．

Answer 1

分析：（1）：利用向量的几何意义a•b=|a||b|cosα变形可求出α；
（2）：n⊥平面SBC，n就垂直于平面内所有直线，则n⊥

SC

且n⊥

BC

，垂直就点积为零从而就求出p和q得出n；
（3）：OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求

OA

与n所成的角，利用a•b=|a||b|cosα求出α，再用

π

2

-α；
（4）：点O到平面SBC的距离即为

OC

在n上的投影的绝对值故求出d即可；
（5）：

OC

在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m．则m⊥

SC

且m⊥

OB

，用点积为零求出m，最后异面直线SC与OB间的距离为

OC

在m上的投影的绝对值故求出d′即可．

解答：解：（1）如图，

SC

=

OC

-

OS

=（2，0，-1），

OB

=

OA

+

AB

=（1，1，0），
则|

SC

|=

22+02+(-1)2

=

5

，|

OB

|=

12+12+02

=

2

．
cosα=cos＜

SC

，

OB

＞=

SC • OB

| SC || OB |

=

2+0+0

5 • 2

=

10

5

，α=arccos

10

5

．

（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥

SC

且n⊥

BC

，
即

n• SC =0 n• BC =0

∵

SC

=（2，0，-1），

BC

=

OC

-

OB

=（1，-1，0），
∴

2-q=0 1-p=0

，∴

p=1 q=2

即n=（1，1，2）．

（3）OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，
故可先求

OA

与n所成的角.

OA

=（0，1，0），
|

OA

|=1，|n|=

12+12+22

=

6

．
∴cos＜

OA

，n＞=

OA •n

| OA ||n|

=

1

1• 6

=

6

6

，
即＜

OA

，n＞=arccos

6

6

．∴θ=

π

2

-arccos

6

6

．

（4）点O到平面SBC的距离即为

OC

在n上的投影的绝对值，
∴d=|

OC

•

n

|n|

|=

2

6

=

6

3

．
（5）

OC

在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，
故先求与SC、OB均垂直的向量m．
设m=（x，y，1），m⊥

SC

且m⊥

OB

，
则m•

SC

=0，且m•

OB

=0．
∴

2x-1=0 x+y=0

即

x= 1 2 y=- 1 2

∴m=（

1

2

，-

1

2

，1），d′=|

OC

•

m

|m|

|=

2

6

=

6

3

．

点评：此题是一道综合性题，考查知识比较全面．向量的几何意义a•b=|a||b|cosα；向量垂直?a•b=0；向量在异面直线公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离．