Question

18．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与椭圆M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别做CE，DF垂直x轴于E，F两点，若四边形CEFD的面积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质分别求得a、b和c的值，即可写出椭圆的方程；
（2）设出C和D点坐标及直线方程，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，求得x₁+x₂和x₁•x₂，代入直线方程求得y₁+y₂，进而求得x₁-x₂，利用梯形的面积公式，即可求得m的值，写出直线方程．

解答 解：（1）由椭圆的性质可知：c=1，2a=$\sqrt{2}$×2b，即a=$\sqrt{2}$b，
∵a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴椭圆M的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且x₁＞0，x₂＜0，直线l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m，m＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{3}{4}{x}^{2}+xm+{m}^{2}-1=0$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}m$，x₁•x₂=$\frac{4}{3}$（m²-1），
y₁+y₂=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）+2m=$\frac{4}{3}m$，
x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-2{m}^{2}}$，
四边形CEFD的面积为S=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）•（x₁-x₂）=$\frac{8}{9}$m$\sqrt{3-2{m}^{2}}$，
∴$\frac{8}{9}$m$\sqrt{3-2{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
整理得：16m⁴-24m²+9=0，解得：m²=$\frac{3}{4}$，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直线l的方程y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本昰考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．