Question

已知z是实系数方程x²+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P_z（Rez，Imz），
（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）给定圆C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P_z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P_z在圆C上。写出线段s的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s₁是（1）中圆C₁的对应线段）。

Answer 1

解：（1）由题意可得，
解方程，得

∴点或
将点代入圆的方程，等号成立
∴在圆上；
（2）当，即时
解得
∴点或
由题意可得
整理后得
∵，
∴
线段s为，
若是线段s上一点（非端点），则实系数方程为

此时，且点，在圆C上。
（3）如表：
。