Question

已知数列{a_n}的前n项和，Sn=n2+2n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）记Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，通过检验a₁是否适合上式，可求
（II）由（I）可得

1

a1a2

=

1

4×5

，当n≥2时，

1

anan-1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂项可求数列的和

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
又a₁=4不适合上式，
∴an=

4，   n=1 2n+1，  n≥2

（II）∵

1

a1a2

=

1

4×5

，
当n≥2时，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Tn=

1

4×5

+

1

2

(

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

20

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

3

20

-

1

2(2n+3)

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解数列的通项公式，注意对n=1时的检验；及利用裂项求解数列的和，要注意裂项时的系数

1

2

不要漏掉