Question

3．在直角坐标平面内，已知点A（1，0），B（-1，0），动点P满足|PA|+|PB|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（$\frac{1}{2}$，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，轨迹C与x轴正半轴的交点为N，求直线MN的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆定义即得结论；
（Ⅱ）通过设直线l方程x=my+$\frac{1}{2}$，并与椭圆C方程联立，设M（x₀，y₀），利用韦达定理可知k=$\frac{1}{4}$•$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，对m是否为0进行讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）由题可知，轨迹C是以A（1，0）、B（-1，0）为焦点的椭圆，
∵动点P满足|PA|+|PB|=4，∴2a=4，即a=2，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴动点P的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）依题意N（2，0），直线l过点（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不为零，
故可设其方程为x=my+$\frac{1}{2}$，并与椭圆C方程联立，
消去x，并整理得：4（3m²+4）y²+12my-45=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则y₁+y₂=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，
∴x₀=my₀+$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4+3{m}^{2}}$，
∴k=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
①当m=0时，k=0；
②当m≠0时，k=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$，
∵|m+$\frac{1}{m}$|=|m|+$\frac{1}{|m|}$≥2，
∴0＜|$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$|≤$\frac{1}{8}$．
∴0＜|k|≤$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$且k≠0；
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．