Question

【题目】设函数f（x）= sinxcsox+cos2x+m
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[﹣ ， ]时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函数f（x）= sinxcsox+cos2x+m= sin2x+ +m

=sin（2x+ ）+m+ ，

∴最小正周期为 =π．

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

故函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：当x∈[﹣ ， ]时，﹣ ≤2x+ ≤ ，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值，

∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1，

故当sin（2x+ ）=﹣ 时，原函数取最小值2，即﹣ +m+ =2，∴m=2，

故f（x）=sin（2x+ ）+ ，

故当sin（2x+ ）=1时，f（x）取得最大值为 ，此时，2x+ = ，x=

【解析】（1）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）当x∈[﹣ ， ]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值及对应的x的值．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和三角函数的最值，掌握两角和与差的正弦公式：；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，即可以解答此题．