题目内容

已知二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，且f（x+1）=f（x）+2x， $数学公式$ ．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式： $数学公式$ ．

解：（1）∵二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，
∴设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）
又∵f（x+1）=f（x）+2x，
即a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x
即2ax+a+b=2x
解得a=1，b=-1
故f（x）=x²-x
设一次函数g（x）=kx（k≠0）
∵ $\text{[math]}$ ．
∴kx-k（x-1）= $\text{[math]}$
即k= $\text{[math]}$
故g（x）= $\text{[math]}$ x
（2）不等式： $\text{[math]}$ ．
可化为x²-x＜ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ＜0
即 $\text{[math]}$ ＜0
即x（x³-x²-4）＜0
即x（x-2）（x²+x+2）＜0
解得0＜x＜2
故关于x的不等式： $\text{[math]}$ 解集为（0，2）
分析：（1）由已知中二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），一次函数g（x）=kx（k≠0），进而根据f（x+1）=f（x）+2x， $\text{[math]}$ ，构造参数a，b，k的方程，解方程可得答案．
（2）根据（1）中结论，可得到一个分式不等式，移项，统分后转化为一个整式不等式，解答后可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，分式不等式的解法，其中（1）中已经函数类型，可用待定系数法求解，（2）的关键是要将不等式转化为整式不等式．

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．
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