Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB∥OA，MA·AB=MB·BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1)，
所以=(-x，-1-y)，=(0，-3-y)，=(x，-2)，
再由题意得知，即(-x，-4-2y)·(x，-2)=0，
所以曲线C的方程式为y=x²-2。
(Ⅱ)设P(x₀，y₀)为曲线C：y=x²-2上一点，因为y′=x，
所以l的斜率为，
因此直线l的方程为，
即，
则O点到l的距离，
又，
所以，当=0时取等号，
所以O点到l距离的最小值为2。