Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

.

an -1

Sn 1 .

=1（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…．试比较S与（n+1）a_n的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由二阶矩阵知a_n+S_n=1，则当n≥2时，a_n-1+S_n-1=1，以上两式相减得到a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，得出数列{a_n}是公比为

1

2

等比数列，由此能够求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）结论：S≥（n+1）a_n．设f(n)=

n+1

2n

，则f(n+1)=

n+2

2n+1

，利用函数的单调性的定义得出函数f（n）在n∈N^*上单调递减，即可证出结论．

解答：解：（1）由题意得a_n+S_n=1，从而a_n-1+S_n-1=1
以上两式相减得到a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即a_n-a_n-1+a_n=0，…3分
所以

an

an-1

=

1

2

，数列{a_n}是公比为

1

2

等比数列，又a₁+S₁=1，a1=

1

2

，
所以an=

1

2

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n…6分
（2）S=

1 2

1- 1 2

=1，(n+1)an=

n+1

2n

，…8分
设f(n)=

n+1

2n

，则f(n+1)=

n+2

2n+1

，f(n+1)-f(n)=

n+2

2n+1

-

n+1

2n

=-

n

2n+1

＜0
所以，函数f（n）在n∈N^*上单调递减，所以f（n）的最大值是f（1）=1，
所以S≥（n+1）a_n…12分．

点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n，解题时要认真审题，注意构造法和比较法的合理运用．