Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．满足2acosC+ccosA=b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB+sinB的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sinAcosC+sinCcosA=sinB，结合三角形的内角和定理及两角和的三角公式可求C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=

1

2

π，B=

1

2

π-A，代入sinAcosB+sinB，利用同角平方关系及二次函数的性质可求最大值

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理及2acosC+ccosA=b．
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π-B，即sin（A+C）=sinB．
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0．
∴cosC=0
∴C=

1

2

π
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=

1

2

π，
∴A+B=

1

2

π，即B=

1

2

π-A．
∵sinAcosB+sinB=cos²B+sinB=-sin²B+sinB+1=-(sinB-

1

2

)2+

5

4

∵0＜B＜

π

2

，
∴当sinB=

1

2

，即B=

π

6

时，sinAcosB+sinB取得最大值

5

4

．

点评：本题主要考查了正弦定理、和差角及同角基本关系、二次函数的最值求解等知识的综合应用，本题具有一定的综合性